条件付きの等式の証明
ここでは、
条件付きの等式の証明についてみていきます。「等式の証明」がうまく理解できていない人は、先に「
わかりやすい等式の証明[恒等式]」を見ておくとよいでしょう。
x＋y＋z＝０のとき、次の等式を証明しなさい。
xy(x＋y)＝−xyz
等式を証明するには、次の３パターンのいずれかを使うんでしたね。
１:Aを変形させてBとなるか、またはBを変形させてAとなるかを確認する
２:Aを変形させたものと、Bを変形させたものが等しいかを確認する
３:"A−B＝０"、または"B−A＝０"となるかを確認する
そして今回のように、"x＋y＋z＝０のとき"と条件が与えられている場合には、
与えられた条件をヒントに証明ができないかを考えます。
証明
"x＋y＋z＝０"なのでこれを変形して、"
z＝−(x＋y)"としておきましょう。これを与えられた式に代入して、証明がうまくいくかをやってみましょう。
■１の方法で証明
まずは１の方法で証明をします。
右辺"−xyz"を変形して、左辺"xy(x＋y)"となるかを確認します。
先ほど、与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を右辺に代入します。
−xyz＝−xy×{−(x＋y)}＝xy(x＋y)＝左辺
以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。
■２の方法で証明
続いて２の方法で証明をしてみましょう。
左辺"xy(x＋y)"と右辺"−xyz"をそれぞれ変形します。
○左辺
xy(x＋y)＝x²y＋xy²
○右辺
与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を代入します。
−xyz＝−xy×{−(x＋y)}＝xy(x＋y)＝x²y＋xy²
以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。
■３の方法で証明
最後に３の方法で証明をしてみましょう。
"左辺−右辺＝０"となるかを確認します。
xy(x＋y)−(−xyz)＝x²y＋xy²＋xyz
与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を代入します。
x²y＋xy²＋xyz
＝x²y＋xy²−xy(x＋y)
＝x²y＋xy²−x²y−xy²
＝０
左辺−右辺＝０なので、この等式が成り立つことが証明されました。
まとめ
条件付きの等式の証明でも、等式の照明方法は同じです。３通りの証明方法がありますが、自分の得意な形を選ぶか、問題をみて、一番簡単に証明ができる方法を選択するのが良いでしょう。
