等式の証明
次の等式を証明せよ。
x³＋y³＝(x＋y)³−３xy(x＋y)
この「
証明せよ」とはどういうことかというと、「
左辺＝右辺がきちんと成り立っているかを確認しなさい」ということです。
"A＝B"という等式を証明するためには、
１:Aを変形させてBとなるか、またはBを変形させてAとなるかを確認する
２:Aを変形させたものと、Bを変形させたものが等しいかを確認する
３:"A−B＝０"、または"B−A＝０"となるかを確認する
この３つのいずれかを行います。
証明の方法がわかったところで、先ほどの問題に取り組んでみましょう。
"x³＋y³＝(x＋y)³−３xy(x＋y)"の証明
■１の方法で証明
まずは１の方法で証明をしてみましょう。
右辺"(x＋y)³−３xy(x＋y)"を変形して、左辺"x³＋y³"となるかを確認します。
(x＋y)³−３xy(x＋y)
＝x³＋３x²y＋３xy²＋y³−３x²y−３xy²
＝x³＋y³
＝左辺
以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。
■２の方法で証明
続いて２の方法で証明をしてみましょう。
左辺"x³＋y³"と右辺"(x＋y)³−３xy(x＋y)"をそれぞれ変形します。
○左辺：
x³＋y³＝(x＋y)(x²−xy＋y²)
○右辺：
(x＋y)³−３xy(x＋y)
＝(x＋y){(x＋y)²−３xy}
＝(x＋y)(x²＋２xy＋y²−３xy)
＝(x＋y)(x²−xy＋y²)
以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。
■３の方法で証明
最後に３の方法で証明をしてみましょう。
"左辺−右辺＝０"となるかを確認します。
x³＋y³−{(x＋y)³−３xy(x＋y)}
＝x³＋y³−(x³＋３x²y＋３xy²＋y³−３x²y−３xy²)
＝x³＋y³−(x³＋y³)
＝０
左辺−右辺＝０なので、この等式が成り立つことが証明されました。
まとめ
３通りの証明方法がありますが、自分の得意な形を選ぶか、問題をみて、一番簡単に証明ができる方法を選択するのが良いでしょう。
