ベクトルを用いた、三角形の面積の公式

著者名： OKボーイ

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はじめに

ここでは、ベクトルを用いた三角形の面積の求め方、その公式について説明しています。

面積を求める公式

図のように、 $\vec{a}$ 　と $\vec{b}$ 　で張られる三角形の面積をＳとします。
このとき、面積Ｓは、次のように表すことができます。

$S= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{| \vec{a} | ^{2} | \vec{b} | ^{2} - \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) ^{2} }$

これを導きだしてみます。

証明

まず、 $\vec{a}$ 　と $\vec{b}$ 　のなす角を「θ」とします。

すると、三角形の高さは $|\vec{b}| \sin \theta$ 　となりますね。
このことから
$S=\frac{1}{2} \cdot | \vec{a} | \times |\vec{b}| \sin \theta$

ここで
$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} =1$ 　より
$\sin ^{2} \theta =1- \cos ^{2}$
０°＜θ＜１８０°なので、sinθ＞０。よって
$\sin \theta = \sqrt{1- \cos ^{2} \theta }$

これを代入して
$S=\frac{1}{2} \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sqrt{1- \cos ^{2} \theta }$

ベクトルの内積
$\vec{a} \cdot \vec{b} =| \vec{a} || \vec{b} | \cos \theta$ 　
より

$S=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{| \vec{a} | ^{2} | \vec{b} | ^{2} -| \vec{a} | ^{2} | \vec{b} | ^{2} \cos ^{2} \theta }$

$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{| \vec{a} | ^{2} | \vec{b} | ^{2} - ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) ^{2} }$

となり、最初の公式が求まりましたね！

・円をベクトルを用いて表す

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『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

『教科書　数学Ｂ』　数研出版

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