ベクトルを用いた、三角形の面積の公式

ここでは、ベクトルを用いた三角形の面積の求め方、その公式について説明しています。






図のように、ベクトルａとベクトルｂで張られる三角形の面積をＳとします。
このとき、面積Ｓは、次のように表すことができます。



これを導きだしてみます。


まず、ベクトルａとベクトルｂのなす角を「θ」とします。


三角形の高さをHとしたとき


これを整理すると、


となりますね。このことから



ここで
ｓｉｎ² θ ＋ｃｏｓ² θ ＝１より、

ｓｉｎ² θ＝１−ｃｏｓ² θ

また０°＜θ＜１８０°なので、sinθ＞０。
以上のことから、





これを

に代入します。




また、ベクトルの内積

より



式を整理すると、

となり、最初の公式が求まりましたね！