はじめに
という方程式があります。
この方程式の解を
、
としたときに次の法則が成り立ちます。
…①
…②
この公式を知っていると、２次方程式の計算が一段と楽になります。
ところで、なぜこの公式が成り立つのでしょうか。それを証明してみたいと思います。
証明
みなさんは、解の公式を覚えていますでしょうか？
そう、
の解
と
は、
というものでしたね。便宜的に
としましょう。
これを実際に①と②の式に代入して計算してみましょう。
展開をすると、
となり、①の式が成り立つことが証明できます。
続いて②です
は以下のように計算できます。
\left(-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ))
これを展開してくと、
^{2}-\left ( \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2})
②が成り立つことも証明できました。
では実際に問題を１つ解いてみましょう。
因数分解でも簡単に解けますが、今回はこの解と係数の法則を用いて解いてみてください。
…③
この式の２つの解をそれぞれ
、
としたときに解と係数の法則より
…④
…⑤
この④と⑤の連立方程式を解いていきます。
④を⑤に代入して計算式を解くと
は１または３、
は１または３と解がでてきます。
以上のことから、解は１と３になります。
実際に③を因数分解して解いてみると、答えが同じになります。
因数分解できるような２次方程式だといいのですが、計算のしにくい方程式の場合にはこの法則が重宝されます。
