チェバの定理とは
チェバの定理とは、図のように△ABCがあったとしましょう。
△ABCの内部もしくは外部に点Ｏをとったとき、ＡからＯを通る直線とＢＣとの交点をＰ、同様に点Ｑと点Ｒを定めます。このとき
となる定理です。
この定理を証明してみましょう。
証明
△AOBと△AOC
△AOBと△AOCに着目します。
△AOBの面積は、
AO×BL÷２
△AOCの面積は、
AO×CM÷２
△AOB：△AOC＝AO×BL÷２：AO×CM÷２＝BL：CM
このとき、BL//CMなので、
BL：CM＝BP：CP
よって
△AOB：△AOC＝BP：CP
これを変形すると
ー①
△AOCと△BOC
次に△AOCと△BOCに着目します。
さっきと同様にして
△AOC：△BOC＝AR：RB
これを変形すると
ー②
△BOCと△BOA
最後に△BOCと△BOAに着目します。
同様にして
△BOC：△BOA＝CQ：QA
これを変形すると
ー③
①×②×③をすると、
これを整理すると
となりますね。
この定理は、
公式だけを覚えても何の役にもたちません。
仮に文字がＰ、Ｑ、ＲからＤ、Ｅ、Ｆにかわったら、きっと頭が混乱してしまうでしょう。
必ず、図を通して覚えるようにしましょう。
