チェバの定理の証明

チェバの定理とは、図のように△ABCがあったとしましょう。
△ABCの内部もしくは外部に点Ｏをとったとき、ＡからＯを通る直線とＢＣとの交点をＰ、同様に点Ｑと点Ｒを定めます。このとき


この定理を証明してみましょう。


△AOBと△AOCに着目します。


△AOBの面積は、
AO×BL÷２

△AOCの面積は、
AO×CM÷２

△AOB：△AOC＝AO×BL÷２：AO×CM÷２＝BL：CM

このとき、BL//CMなので、
BL：CM＝BP：CP

よって
△AOB：△AOC＝BP：CP

これを変形すると
　ー①


次に△AOCと△BOCに着目します。
さっきと同様にして

△AOC：△BOC＝AR：RB

これを変形すると
　ー②


最後に△BOCと△BOAに着目します。

同様にして

△BOC：△BOA＝CQ：QA

これを変形すると
　ー③


①×②×③をすると、



これを整理すると
　となりますね。

この定理は、公式だけを覚えても何の役にもたちません。
仮に文字がＰ、Ｑ、ＲからＤ、Ｅ、Ｆにかわったら、きっと頭が混乱してしまうでしょう。必ず、図を通して覚えるようにしましょう。