メネラウスの定理の証明

著者名： OKボーイ

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メネラウスの定理

メネラウスの定理とは、図１のような三角形があったときに
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1$
となる定理のことでした。
これを証明してみましょう。

証明

図２のように、ＰＲを延長してＡ、Ｂ、Ｃから直線ＰＲ上に垂線を下ろします。
その交点をそれぞれ。Ｌ、Ｍ、Ｎとしましょう。この垂線はみな平行なので

$PC:PB=CN:BM$ より
$\frac{BP}{PC} = \frac{BM}{CN}$ 　…①

$AR:RB=AL:BM$ より
$\frac{AR}{RB} = \frac{AL}{MB}$ 　…②

$QA:CQ=AL:CN$ より
$\frac{CQ}{QA} = \frac{CN}{AL}$ 　…③

①、②、③を
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1$
の左辺に代入します。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = \frac{BM}{CN} \times \frac{CN}{AL} \times \frac{AL}{BM} =1$

となりますね。
メネラウスの定理が成り立つことが証明されました。

・中線定理の証明

・チェバの定理の証明（点Ｏが三角形の中にあるとき）

・チェバの定理の証明

三角形, 補助線, 垂線, メネラウスの定理,

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『教科書　数学Ａ』　数研出版

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まとめ

中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理

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