三角形の外心の性質
△ＡＢＣの中でも外でも良いので、任意の点Ｏをとる。点ＡＢＣとＯとをそれぞれ結ぶ線が向かい合う辺と点Ｐ，Ｑ、Ｒで交わるとき
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
チェバの定理を証明する前に、次の性質を知っておく必要がある。
まずはこの証明を行う。
次の図のように、点Ｂと点ＣからＡＰもしくはその延長線上に垂線をおろし、ＡＰとの交点をそれぞれQ、Rとする。
このとき△ＯＡＢの面積は、
OA×BQ÷２ －①
同様にして、三角ＯＡＣの面積は
OA×CR÷２ －②
①と②から、
△ＯＡＢ：△ＯＡＣ＝ＢＱ：ＣＲ －③
であることがわかった。次に、
BＱ//CRであることに着目する。
BQ//CRより、
BP：PC=BQ：CR －④
③と④より
△OAB：△OAC=BP：PCつまり
となる。ではこれを利用してチェバの定理を証明していく。
チェバの定理を証明の証明
■（１） △ＯＡＢと△ＯＡＣ
△ＯＡＢと△ＯＡＣにおいて、先ほど求めた定理を使って
■（２） △ＯＢＣと△ＯＢＡ
△ＯＢＣと△ＯＢＡにおいて、同様にして
■（３） △ＯＡＣと△ＯＢＣ
△ＯＡＣと△ＯＢＣにおいて、同様にして
■結論
に（１）、（２）、（３）で求めた式を代入すると、
すなわち
が成り立つことがわかる。
証明おわり。
