中線定理の証明

著者名： OKボーイ

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中線定理とは

中線定理とは、図の△ＡＢＣにおいて辺ＢＣの中点をＭとするとき、

$AB^{2}+AC^{2}=2\left(AM^{2}+BM^{2}\right)$

であるというものでした。

中線定理の証明

これを証明してみましょう。

まず、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その交点をＨとします。
△ＡＢＨに三平方の定理をあてはめると、
$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$ 　　…①
△ＡＣＨに三平方の定理をあてはめると、
$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$ 　　…②

①＋②より $AB^{2}+AC^{2}=BH^{2}+CH^{2}+2AH^{2}$ 　　…③

一方で、ＢＨ＝ＢＭ＋ＭＨ、ＣＨ＝ＣＭ－ＭＨ、またＢＭ＝ＣＭより
$BH^{2}+CH^{2}=(BM+MH)^{2}+(CM-MH)^{2}$
$=BM^{2}+2BMMH+MH^{2}+(BM^{2}-2BMMH+MH^{2}$
$=2BM^{2}+2MH^{2}$ 　　…④

④を③に代入して
$AB^{2}+AC^{2}=2BM^{2}+2MH^{2}+2AH^{2}=2BM^{2}+2(MH^{2}+AH^{2})$
△ＡＭＨにおいて三平方の定理より
$AM^{2}=MH^{2}+AH^{2}$ 　より⑤の式は
$AB^{2}+AC^{2}=2BM^{2}+2AM^{2}=2\left(AM^{2}+BM^{2}\right)$
となり、定理の式が導けましたね。

・チェバの定理の証明（点Ｏが三角形の中にあるとき）

・メネラウスの定理の証明

・チェバの定理の証明

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『教科書　数学Ａ』　数研出版

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まとめ

中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理

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