中線定理の証明

著者名： OKボーイ

マイリストに追加

中線定理とは

中線定理とは、図の△ＡＢＣにおいて辺ＢＣの中点をＭとするとき、

$AB^{2}+AC^{2}=2\left(AM^{2}+BM^{2}\right)$

であるというものでした。

中線定理の証明

これを証明してみましょう。

まず、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その交点をＨとします。
△ＡＢＨに三平方の定理をあてはめると、
$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$ 　　…①
△ＡＣＨに三平方の定理をあてはめると、
$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$ 　　…②

①＋②より $AB^{2}+AC^{2}=BH^{2}+CH^{2}+2AH^{2}$ 　　…③

一方で、ＢＨ＝ＢＭ＋ＭＨ、ＣＨ＝ＣＭ－ＭＨ、またＢＭ＝ＣＭより
$BH^{2}+CH^{2}=(BM+MH)^{2}+(CM-MH)^{2}$
$=BM^{2}+2BMMH+MH^{2}+(BM^{2}-2BMMH+MH^{2}$
$=2BM^{2}+2MH^{2}$ 　　…④

④を③に代入して
$AB^{2}+AC^{2}=2BM^{2}+2MH^{2}+2AH^{2}=2BM^{2}+2(MH^{2}+AH^{2})$
△ＡＭＨにおいて三平方の定理より
$AM^{2}=MH^{2}+AH^{2}$ 　より⑤の式は
$AB^{2}+AC^{2}=2BM^{2}+2AM^{2}=2\left(AM^{2}+BM^{2}\right)$
となり、定理の式が導けましたね。

・メネラウスの定理の証明

・チェバの定理の証明（点Ｏが三角形の中にあるとき）

・チェバの定理の証明

証明, 三平方の定理, ピタゴラスの定理, 垂線, 中線定理, 中線定理の証明,

『教科書　数学Ａ』　数研出版

FTEXT

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	61,861 pt
役に立った数	97 pt
う〜ん数	20 pt
マイリスト数	3 pt

知りたいことを検索！

まとめ

中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理

デイリーランキング

	文字の発明　世界史用語68
	鎬京とは　わかりやすい世界史用語295
	古文単語「いささかなり/聊かなり」の意味・解説【形容動詞ナリ活用】
4	古文単語「こもる/籠る/隠る」の意味・解説【ラ行四段活用】
5	複２次式の因数分解
6	英語の規則的に変化する過去形～「昨日サッカーをしたんだ」を英語で言うと～
7	【行方】あなたは読める？難読地名の読み方と由来
8	分母に分数を含む式の計算[分数式]
9	導関数の公式の証明y＝kf(x)−mg(x)を微分するとy'＝kf'(x)−mg'(x)
10	1次不等式の文章問題[連立不等式の計算を含む問題]