直方体を切り取った図形の面積

空間図形の代表的な問題です。
うーん…ややこしいですね。
まず △ＡＣＦの面積を求めるときに、どのようなアプローチをしたらいいのかを考えましょう。

今まで習った、三角形の面積を求める方法は２つあります。
１つが、Ｓ＝底辺×高さ÷２　…①
もう１つが　　…② でしたね。

高校１年にもなって①で問題を解かせるとは思えないので、②の定理で求めてみましょう。(※どの解法アプローチを使うかの決定なんてこんなものです。)

では、△ＡＣＦの面積Ｓを求めるために必要な値は何でしょうか。
△ＡＣＦの２つの辺の長さとその辺が形成する角度のサインですね。

各辺の長さは、△ＡＣＤ、△ＡＥＦ、△ＣＦＧにそれぞれ 三平方の定理を当てはめればもとまります。
△ＡＣＤにおいて　
ＡＣ＞０より　

同じように、△ＡＥＦ、△ＣＦＧでも三平方の定理を使い
、　　となります。
では△ＡＣＦだけを図式してみましょう。



問題は、この△ＡＣＦの面積Ｓを求めなさいということです。
△の３辺だけではサインの値は求まりませんが、余弦定理よりコサインの値なら求めることができます。

ここではsin∠Ｆを求めれるように、cosＦをまず求めます。(∠Ａ、∠Ｃを使ってやっても構いません。)

余弦定理より




　より


sinF＞０なので


これでやっとsinFが求まりました。
ここから面積Ｓを求めます。
　　なので


これが答えです。
空間図形の問題はよくテストにも出ますので、苦手意識を持たないようにしましょう。