三角形の面積を求める公式とその証明
三角形の面積を求める公式といえば「
底辺×高さ÷２」を思い出しますが、ここでは「サインを使って三角形の面積を求める公式」を紹介します。
図のような△ABCの面積をSとしたとき
公式の証明
ではこの公式を証明していきましょう。
図のようにAから辺BCに垂線をおろし、その交点をHとします。△ABHにおいて、
これを整理すると
ＡＨ＝ｃ sinＢ ー①
このAHは何かというと、
△ABCの高さですね。三角形の高さがわかったので、三角形の面積を求める公式「
底辺×高さ÷２」より△ABCの面積Sは
Ｓ＝ＢＣ × ＡＨ÷２
"BC＝a"、①より"AH＝c sinB"なのでこれを代入すると
"
Ｓ＝ａ×ｃ sinＢ÷２"、つまり
が成り立つことがわかります。
∠Aと∠Cにおいても同様にして公式を導くことができます。
以上から、サインを用いて三角形の面積を求める公式が証明できました。
