三角形の面積を求める問題
「
サインを使って三角形の面積を求める公式」を使って三角形の面積を求める問題を解説していきます。随時更新予定です。
問題１：２辺と１つの角の大きさがわかっている場合
△ABCにおいて、"a＝３、b＝４、∠C＝６０°"のとき、△ABCの面積Sを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
サインを使って三角形の面積を求める公式に当てはめることができますね。
に与えられた値を代入すると
問題２：３辺の長さがわかっている場合(角度がきれいに求まるver.)
△ABCにおいて、３辺の長さが"a＝３、b＝√13、c＝４"のとき、△ABCの面積Sを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
の公式を用いたいので、sinA、sinB、sinCのいずれかの値か、∠A、∠B、∠Cのいずれかの大きさが必要となります。かいた図を見ると、余弦定理を使ってcosBの値は簡単に求めることができそうです。
△ABCに
余弦定理を用います。
"b²＝a²＋c²−２ab・cosB"より、
１３＝９＋１６−２・３・４cosB
２４cosB＝１２
cosB＝１/２
よって"∠B＝６０°"であることがわかりました。
これで公式を使うことができますね。
サインを使って三角形の面積を求める公式より
これを計算すると、
問題３：３辺の長さがわかっている場合(角度がきれいに求まらないver.)
問題２では、cosBの値が奇麗に求まったので、"∠B＝６０°"とすることができました。今度は、角度がきれいに求まらない場合をみてみましょう。
△ABCにおいて、３辺の長さが"a＝３、b＝√13、c＝４"のとき、△ABCの面積Sを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
値は問題２と全く同じです。問題２では∠Bに注目をしましたが、今度は∠Aに注目をして△ABCに
余弦定理を用いてみます。"a²＝b²＋c²−２bc・cosA"より、
９＝１３＋１６−２・４・√13・cosA
９＝２９−８√13 cosA
８√13 cosA＝２０
これを整理すると、
これでは、∠Aの大きさを求めることはできませんね。こうなった場合は、"
sin²A＋cosA²＝１"の公式を用いて、sinAの値をダイレクトに求めにいきます。
∠Aの大きさがわからなくてもsinAの値がわかれば、三角形の面積を求めることは可能です。
 ^{2} )
０°＜A＜１８０°の範囲では"sinA＞０"なので、
あとは、
サインを使って三角形の面積を求める公式より
