角の二等分線の定理の証明

図のように、△ＡＢＣにおいて角Ａを線分ＡＤが∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θとなるように、∠Ａを２等分するとします。
このとき、 ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤとなるのですが、これを証明してみましょう。

△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積をそれぞれＳ１、Ｓ２とします。
このとき
Ｓ１＝１/２×ＡＢ×ＡＤ×sinθ　…①
Ｓ２＝１/２×ＡＣ×ＡＤ×sinθ　…②

①と②より
Ｓ１：Ｓ２＝１/２・ＡＢ・ＡＤ・sinθ：１/２・ＡＣ・ＡＤ・sinθ＝ＡＢ：ＡＣ
となります。　…③


続いて、点ＡからＢＣに垂線を下ろし、ＢＣとの交点をＨとしましょう。
このときＳ１とＳ２は
Ｓ１＝１/２×ＢＤ×ＡＨ　…④
Ｓ２＝１/２×ＣＤ×ＡＨ　…⑤
④と⑤より
Ｓ１：Ｓ２＝１/２・ＢＤ・ＡＨ：１/２・ＣＤ・ＡＨ＝ＢＤ：ＣＤ
となります。　…⑥

③と⑥より
Ｓ１：Ｓ２＝ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ
が証明できました。

よって △ＡＢＣにおいて∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤのとき、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤであることがわかります。