導関数を求める
関数"f(x)"を微分して導関数"f'(x)"を求める問題をみていきましょう。
この手の問題は、次のように出題されます。
次の関数を微分しなさい。
(１) f(x)＝x²＋４x−３
(２) f(x)＝３x³−２x²＋x＋５
(３) f(x)＝x²(x³＋x²)
「関数f(x)を微分して導関数f'(x)を求めなさい」なんて丁寧には聞かれません。「関数を微分しなさい」と問われたら、導関数を求めるんだなと解釈しましょう。
■(１) f(x)＝x²＋４x−３
「
簡単な導関数の求め方」でみたように、関数を微分するためには、
指数を前にもってきて、次数を１つ下げる
んでしたね。例えば"f(x)＝x²"を微分すると、"f'(x)＝２x"となるんでした。ここがわからない人は、
簡単な導関数の求め方・例題を見てもう一度復習をしてから読み進めてください。
"f(x)＝x²＋４x−３"のように、項がいくつもある場合は、それぞれの項を微分します。今回であれば、"x²"、"４x"、"−３"をそれぞれ微分します。
"x²"を微分すると、"２x"
"４x"を微分すると、"４"
"−３"を微分すると、"０"(
記号のついていない項を微分すると０になるんでしたね。)
以上から"f'(x)"は、
f'(x)＝２x＋４
となります。
■(２) f(x)＝３x³−２x²＋x＋５
続けていきましょう。解き方は(１)と同じです。
"３x³"、"２x²"、"x"、"５"をそれぞれ微分していきます。
"３x³"を微分すると、"９x²"
"２x²"を微分すると、"４x"
"x"を微分すると、"１"
"５"を微分すると、"０"
以上から"f'(x)"は、
f'(x)＝９x²−４x＋１
■(３) f(x)＝x²(x³＋x²)
第３問です。このような場合はまず、式を展開してカッコをはずしてから考えます。
f(x)＝x²(x³＋x²)＝x⁵＋x⁴
あとは(１)、(２)と同じ解き方です。
"x⁵"を微分すると、"５x⁴"
"x⁴"を微分すると、"４x³"
以上から"f'(x)"は、
f'(x)＝５x⁴＋４x³
