導関数の公式の証明
ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。
kとmが定数のとき、"y={kf(x)+mg(x)}"の導関数は、
y'={kf(x)+mg(x)}'=kf'(x)+mg'(x)
"kf(x)=kx³"、"mg(x)=mx²"として、この関数を
導関数の定義に従って微分してみましょう。
"y=kf(x)+mg(x)=kx³+mx²"なので、x+hを代入すると、
kf(x+h)+mg(x+h)
=k(x+h)³+m(x+h)²
=k(x³+3x²h+3xh²+h³)+m(x²+2xh+h²)
=kx³+3kx²h+3kxh²+kh³+mx²+2mxh+mh²
=kh³+h²(3kx+m)+h(3kx²+2mx)+kx³+mx²
極限値の計算方法より
"y=kf(x)"の導関数は"y'=kf'(x)"の公式より、"kf(x)"の導関数"kf'(x)"と"mg(x)"の導関数"mg'(x)"は次のようになります。
kf'(x)=k(x³)'=3kx²
mg'(x)=m(x²)'=2mx
つまり、先ほど求めた"y'"は、
以上のことから、kとmが定数のとき"y={kf(x)+mg(x)}"の導関数は、
y'={kf(x)+mg(x)}'=kf'(x)+mg'(x)であるといえます。