導関数の公式の証明
ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。
kとmが定数のとき、"y＝{kf(x)＋mg(x)}"の導関数は、
y'＝{kf(x)＋mg(x)}'＝kf'(x)＋mg'(x)
"kf(x)＝kx³"、"mg(x)＝mx²"として、この関数を
導関数の定義に従って微分してみましょう。
"y＝kf(x)＋mg(x)＝kx³＋mx²"なので、x＋hを代入すると、
kf(x＋h)＋mg(x＋h)
＝k(x＋h)³＋m(x＋h)²
＝k(x³＋３x²h＋３xh²＋h³)＋m(x²＋２xh＋h²)
＝kx³＋３kx²h＋３kxh²＋kh³＋mx²＋２mxh＋mh²
＝kh³＋h²(３kx＋m)＋h(３kx²＋２mx)＋kx³＋mx²
%2Bmg(x%2Bh)\right}-\left{kf(x)%2Bmg(x)\right}}{h} )
%2Bh(3kx ^{2} %2B2mx)%2Bkx ^{3} %2Bmx ^{2} -\left{ kx ^{3} %2Bmx ^{2}\right} }{h} )
%2Bh(3kx ^{2} %2B2mx)%2Bkx ^{3} %2Bmx ^{2} -kx ^{3} - mx ^{2} }{h} )
%2Bh(3kx ^{2} %2B2mx)}{h} )
%2B3kx ^{2} %2B2mx )
極限値の計算方法より
"y＝kf(x)"の導関数は"y'＝kf'(x)"の公式より、"kf(x)"の導関数"kf'(x)"と"mg(x)"の導関数"mg'(x)"は次のようになります。
kf'(x)＝k(x³)'＝３kx²
mg'(x)＝m(x²)'＝２mx
つまり、先ほど求めた"y'"は、
%2Bmg ^{,} (x))
以上のことから、kとmが定数のとき"y＝{kf(x)＋mg(x)}"の導関数は、
y'＝{kf(x)＋mg(x)}'＝kf'(x)＋mg'(x)であるといえます。
