導関数とは
ここでは、
導関数(どうかんすう)についてみていきますが、まずは
微分係数について思い出してみましょう。
微分係数は、次の公式を使って求めることができました。
y＝f(x)について、"x＝a"のときの微分係数は、
= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a%2Bh)-f(a)}{h} )
例えば、x＝１のときの微分係数は、
= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1%2Bh)-f(1)}{h} )
x＝−２のときの微分係数は、
= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2%2Bh)-f(-2)}{h} )
と、ひとつひとつ求めて行くことになります。
これって計算がすごい面倒くさいですよね。仮に、"x＝１"や"x＝−２"を
代入すればぽーんと答えが導ける方法があったらどうですか。いいですよね。そのやり方を学ぶのが、この導関数の単元です。
微分係数を、値を代入するだけで簡単に
導くことができる
関数、"導関数"についてみていきましょう。
導関数の求め方
値を代入しただけで微分係数を簡単に求めることができる関数を、
導関数といいます。導関数を求めるために、次のことを頭にいれましょう。
指数を前にもってきて、次数を１つ下げる
具体的にみてみましょう。
■"f(x)＝x²"の導関数を求めなさい
"f(x)＝x²"の導関数を求めてみます。まず、指数を前にもってきます。どういうことかというと、x²の指数"２"を、xの前にもってきます。
２x²
次に、次数を１つ下げます。２x²の次数は"２"なので、これを１つ下げて"１"にします。
２x
f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、
f'(x)＝２x ー①
これが"f(x)＝x²"の導関数です。
"f(x)＝x²"のx＝１のときの微分係数は、①にx＝１を代入して
"
f'(１)＝２"
"f(x)＝x²"のx＝−２のときの微分係数は、①にx＝−２を代入して
"
f'(−２)＝−４"
と求めます。拍子抜けするぐらい簡単ですよね。
関数"f(x)"を微分して導関数"f'(x)"を求めると言います。
もう１問やってみましょう。
■"f(x)＝２x³"の導関数を求めなさい
続いて"f(x)＝２x³"の導関数を求めてみます。まず、先ほどと同じように指数を前にもってきます。x³の指数"３"を、xの前にもってきます。
３×２x²＝６x³
次に、次数を１つ下げます。６x³の次数は"３"なので、これを１つ下げて"２"にします。
６x²
f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、
f'(x)＝６x²
これが"f(x)＝２x³"の導関数です。
前にもっていった指数と、最初からxの前についていた数をかけるというところがポイントですね。
■"f(x)＝−２x"の導関数を求めなさい
続いて"f(x)＝−２x"の導関数を求めてみます。まず、先ほどと同じように指数を前にもってきます。xの指数は"１"なので、これをxの前にもってきます。
１×(−２)x＝−２x
次に、次数を１つ下げます。−２xの次数は"１"なので、これを１つ下げて"０"にします。xの０乗は"１"なので、
−２
f(x)の導関数は"f'(x)"と表しますので、
f'(x)＝−２
これが"f(x)＝−２x"の導関数です。
この問題のように、
指数が１の関数の導関数を求めると、"x"がなくなるというところがポイントですね。
■"f(x)＝４"の導関数を求めなさい
最後に"f(x)＝４"の導関数を求めてみます。
この問題のように、記号のない関数の導関数は、必ず
f'(x)＝０
となるので覚えておきましょう。
