導関数の公式の証明
ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。
"y＝f(x)＋g(x)"の導関数は、
y'＝{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)
kf(x)＝x³"、"g(x)＝x²"として、この関数を
導関数の定義に従って微分してみましょう。
"y＝f(x)＋g(x)＝x³＋x²"なので、x＋hを代入すると、
f(x＋h)＋g(x＋h)
＝(x＋h)³＋(x＋h)²
＝x³＋３x²h＋３xh²＋h³＋x²＋２xh＋h²
＝h³＋h²(３x＋１)＋h(３x²＋２x)＋x³＋x²
%2Bg(x%2Bh)\right}-\left{f(x)%2Bg(x)\right}}{h} )
%2Bh(3x ^{2} %2B2x)%2Bx ^{3} %2Bx ^{2} -\left{ x ^{3} %2Bx ^{2}\right} }{h} )
%2Bh(3x ^{2} %2B2x)%2Bx ^{3} %2Bx ^{2} -x ^{3} - x ^{2} }{h} )
%2Bh(3x ^{2} %2B2x)}{h} )
%2B3x ^{2} %2B2x )
極限値の計算方法より
f'(x)＝(x³)'＝３x²
g'(x)＝(x²)'＝２x
なので、先ほど求めたy'は、
%2Bg ^{,} (x))
以上のことから、"y＝f(x)＋g(x)"の導関数は、
y'＝{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)
