累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ" / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-07-08
	累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"
著作名：ふぇるまー 14,008 views

累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a＞０、b＞０で、m、n、pが正の数のとき
$\sqrt[np]{a ^{mp} } = \sqrt[n]{a ^{m} }$
の証明

まず、
$\sqrt[n]{a ^{m} } =x$ 　－①

とおき、両辺をｎ乗します。
$\left( \sqrt[n]{a ^{m} } \right) ^{n} =x ^{n}$

$a ^{m} =x ^{n}$ 　－②

この計算がわからない人は、

$a ^{m} =A$

として考えてみてください。

$\left( \sqrt[n]{a ^{m} } \right) ^{n} = \left( \sqrt[n]{A} \right) ^{n} =A=a ^{m}$

次に、②式の両辺をｐ乗します。

$\left(a ^{m} \right) ^{p} = \left(x ^{n} \right) ^{p}$

ここで両辺に、指数法則の
$\left(a ^{m} \right) ^{n}$ $=a ^{mn}$
を用います。すると

$a ^{mp} =x ^{np}$ 　－③

条件より、 $a ^{mp} >0$ 、 $x>0$ なので

$x= \sqrt[np]{a ^{mp} }$ 　－④

この計算がわからない人は、③の式の数値を

$a ^{mp} =A$
$np=q$

と置き換えて考えてみましょう。

$A=x ^{q}$

$x= \sqrt[q]{A} = \sqrt[q]{a ^{mp} } = \sqrt[np]{a ^{mp} }$

となりますね。

①、④より

$\sqrt[np]{a ^{mp} } = x = \sqrt[n]{a ^{m} }$

が成り立つことがわかります。

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