３次方程式の解と係数の関係
３次方程式"ax³＋bx²＋cx＋d＝０"の３つの解を"α、β、γ"としたとき、次のことが成り立ちます。
ではこれを証明してみましょう。
３次方程式の解と係数の関係の証明
３次方程式"ax³＋bx²＋cx＋d＝０"の３つの解が"α、β、γ"ということは
ax³＋bx²＋cx＋d＝a(x−α)(x−β)(x−γ)
と変形できますね。
この右辺を展開して整理します。
a(x−α)(x−β)(x−γ)
＝a{x²−(α＋β)x＋αβ(x−γ)}
＝a{x³−γx²−(α＋β)x²＋(α＋β)γx＋αβx−αβγ}
＝a{x³−(α＋β＋γ)x²＋αγx＋βγx＋αβx−αβγ}
＝a{x³−(α＋β＋γ)x²＋(αγ＋βγ＋αβ)x−αβγ}
次に左辺を変形します。
 )
左辺＝右辺ということは、
両辺の同じ次数をもつ項の係数が同じということになるので、
b/a＝−(α＋β＋γ)
c/a＝(αγ＋βγ＋αβ
d/a＝−αβγ
これらを整理すると、
が成り立つ事がわかりますね。
