「ax²+bx+c=a'x²+b'x+c'が恒等式のときa=a',b=b',c=c'」を使った問題

著者名： OKボーイ

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恒等式

前回は $ax ^{2} +bx+c=0$ 　がｘについての恒等式である場合、 $a=b=c=0$ 　であることを証明しました。
今回はその続きです。

恒等式における決め事

$ax ^{2} +bx+c=a"x^{2}+b"x+c"$ 　がｘについての恒等式であるとき、 $a=a"$ 、 $b=b"$ 、 $c=c"$ である

これを応用して、次の問題をといてみましょう。
$x ^{2} -x=a \left(x-2\right) ^{2} +b \left(x+2\right) +c$ 　…ⅰ
がｘについての恒等式であるとき、ａ、ｂ、ｃそれぞれの値を求めてみましょう。

まず、見やすくするために右辺をｘの項目ごとにまとめてみましょう。
右辺＝ $ax ^{2} + \left(-4a+b\right) x+4a+2b+c$

$ax ^{2} +bx+c=a"x^{2}+b"x+c"$ 　がｘについての恒等式であるとき、 $a=a"$ 、 $b=b"$ 、 $c=c"$ である

このことから、ⅰの式はｘについての恒等式ですので
$a=1$ 　…ⅱ
$-4a+b=-1$ 　…ⅲ
$4a+2b+c=0$ 　…ⅳ

この３つの式を満たすａ、ｂ、ｃを求めればよいということになります。
ⅱとⅲより　 $b=3$ 　…ⅴ
ⅱ、ⅳ、ⅴより　 $c=-10$

以上のことからａ＝１、ｂ＝３、ｃ＝－１０

恒等式と聞いたら、基準となる項目ごとにそろえ、左辺と右辺の係数が等しくなるように計算すれば良いのです。

・恒等式　ax²+bx+c=0が恒等式のときa=b=c=0の証明

・「ax²+bx+c=a'x²+b'x+c'が恒等式のときa=a',b=b',c=c'」を使った問題

・恒等式の計算問題

・条件付きの等式の証明

・連比が条件の等式の証明

・等式の証明

・わかりやすい等式の証明[恒等式]

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『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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