因数定理
整式P(x)を"x−a"で割ったときの商を"Q(x)"、余りをRとすると
P(x)＝Q(x) (x−a)＋R
そして
剰余の定理により
P(a)＝R
が成り立ちました。
ここで、"
R＝０"の場合を考えてみましょう。
"P(a)＝R＝０"ということは、
余りが０なので整式P(x)は"x−a"で割り切れるということです。このことから何がわかるかというと
・整式P(x)が"x−a"で割り切れて"P(x)＝Q(x) (x−a)"となる、すなわち"x−a"がP(x)の因数であるとき、"P(a)＝R＝０"となる。
・逆に、"P(a)＝R＝０"となるとき、整式P(x)が"x−a"で割り切れて"P(x)＝Q(x) (x−a)"となる、すなわち"x−a"がP(x)の因数となる。
これがわかります。この関係のことを
因数定理といいます。
因数定理を用いた因数分解
この因数定理が何に役に立つかというと、次のような問題を解くときに有効です。
"x³＋３x²−x−３"を因数分解しなさい
"x³＋３x²−x−３"は、ぱっと見で因数分解するのは難しそうですね。そこで、"P(x)＝x³＋３x²−x−３"とおいたときに、
P(x)＝０となるxの値を探してみましょう。
どうやら"x＝１"のときに、"P(x)＝０"となりそうですね。ここで
因数定理を使います。"P(１)＝０"ということから、"P(x)"が"x−１"を因数にもつことがわかります。あとは
"x³＋３x²−x−３"÷"x−１"をして因数分解しましょう。
(x³＋３x²−x−３)
＝(x−１)(x²＋４x＋３)
＝(x−１)(x＋１)(x＋３)
ポイントは、"P(x)＝x³＋３x²−x−３"とおいたときに、P(x)＝０となるxの値をどれだけはやく探せるかです。ちなみに筆者は、０、１、２、３、４・・・と１つずつxに数字をあてはめて暗算をしながら探す派です。
