剰余の定理
整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、「
R＝P(a)」で求める事ができましたね。では、P(x)を"ax＋b"で割ったときの余りはどのように求めればよいでしょうか？
答えは、"P(−b/a)"となるのですが、ここではそれを証明してみましょう。
証明
整式P(x)を"ax＋b"で割ったときの余りが"P(−b/a)"となることを証明しなさい。
まず、整式P(x)を"ax＋b"で割ったときの商をQ(x)、余りをRとします。すると
P(x)＝Q(x) (ax＋b)＋R
と表せますね。この式において、"x＝−b/a"のとき
 =Q \left(- \frac{b}{a} \right) \left{a \times \left(- \frac{b}{a} \right) %2Bb\right} %2BR)
 =Q \left(- \frac{b}{a} \right) \left(-b%2Bb\right) %2BR)
 =Q \left(- \frac{b}{a} \right) \times 0%2BR)
 =R)
以上のことから、整式P(x)を"ax＋b"で割ったときの余りRは、"
R＝P(−b/a)"となることがわかりますね。
練習問題
次の式を( )内の式で割ったときの余りを求めてみましょう。
(１) ８x³＋４x²−２x＋３ (２x＋１)
(２) ８x³−４x−２x＋３ (２x−１)
■(１) ８x³＋４x²−２x＋３ (２x＋１)
P(x)＝８x³＋４x²−２x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"２x＋１"で割ったときの余りRは、"R＝P(−１/２)"となります。
 =8 \left(- \frac{1}{2} \right) ^{3} %2B4 \left(- \frac{1}{2} \right) ^{2} -2 \left(- \frac{1}{2} \right) %2B3)
 =-1%2B1%2B1%2B3=4)
以上より、
余りは４です。
■(２) ８x³−４x−２x＋３ (２x−１)
P(x)＝８x³−４x−２x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"２x−１"で割ったときの余りRは、"R＝P(１/２)"となります。
 =8 \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} -4 \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} -2 \left( \frac{1}{2} \right) %2B3)
 =1-1-1%2B3=2)
以上より、
余りは２です。
