剰余の定理
この単元では、整式"x²＋bx＋c"を、
・"P(x)＝x²＋bx＋c"
・"Q(x)＝x²＋bx＋c"
といった形にして考えていきます。整式であれば２次式でも３次式でも４次式でもかまいません。ここでは例として、"P(x)＝x²＋bx＋c"としているだけです。
"P(x)＝x²＋bx＋c"の意味は、"x＝１"のときは"P(１)＝１＋b＋c"となりますし、"x＝k"のときは"P(k)＝k²＋bk＋c"となります。これは２次関数の単元でやった"
f(x)"と同じ考え方ですね。
整式の割り算
ここで、整式の割り算について考えます。整式P(x)を、"x−a"で割ったときの商をQ(x)、余をRとします。このとき
P(x)＝Q(x) (x−a)＋R
と表せますね。わからない人は、１０を３で割ったとき、商が３で余が１となることを考えてみましょう。
１０＝３×３＋１
と表せますよね。これと同じです。
さて、"P(x)＝Q(x) (x−a)＋R"に"x＝a"を代入してみます。
P(a)＝Q(a) (a−a)＋R＝R
これで何がわかるかというと、
整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、R＝P(a)ということがわかります。大切なのでもう１度言います。
整式P(x)を"x−a"で割ったときの余りRは、
R＝P(a)
これが
剰余の定理です。
整式の面倒くさい割り算をわざわざせずに、余りだけを求めたいときに有効です。
練習問題
次の式を、( )内の式で割ったときの余りを求めてみましょう。
(１) ３x³−２x²＋４x＋３ (x−２)
(２) ２x³−x＋４ (x＋３)
■(１) ３x³−２x²＋４x＋３ (x−２)
P(x)＝３x³−２x²＋４x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"x−２"で割ったときの余りRは、"R＝P(２)"となります。
P(２)＝３・２³−２・２²＋４・２＋３＝２４−８＋８＋３＝２７
余りは"２７"です。
■(２) ２x³−x＋４ (x＋３)
P(x)＝２x³−x＋４とします。剰余の定理より、P(x)を"x−３"で割ったときの余りRは、"R＝P(−３)"となります。
P(−３)＝２・(−３)³−(−３)＋４＝−５４＋７＝−４７
余りは"−４７"です。
