剰余の定理の練習問題
ここでは、剰余の定理に関する様々な形の問題の解説をしています。あなたがわからないタイプの問題もきっと扱っているはずです。
問題1
整式"P(x)=2x³+3x²−ax+1"を( x−1)で割ったときの余りが"3"となるような定数aの値を求めてみましょう。
整式P(x)をx−1で割ったときの余りRが、"R=P(1)"となるのが
剰余の定理でした。
問題の、P(x)をx−1で割ったときの余りが3ということより
P(1)=3
という式が成り立ちます。
P(1)=2・1+3・1−a・1+1=3
2+3−a+1=3
6−a=3
a=3
以上より、題意を満たすaの値は、
a=3
問題2
整式P(x)を、x−1で割ると3余り、x+2で割ると−6余る。このとき、P(x)を(x−1)(x+2)で割ったときの余りを求めてみましょう。
P(x)を(x−1)(x+2)で割ったときの商をQ(x)、余りをRとしましょう。すると
P(x)=Q(x) (x−1)(x+2)+R ー①
が成り立ちます。
ここでポイントとなるのは、
Rをどう表現するかです。
整式の割り算を思い出してほしいのですが、整式を2次式で割ったときの余りは、必ず、1次式か定数となります。例えば
(4x³+x²+2x−3)÷(x²+x+1)
の余りは"x"ですが、これも、2次式で割っているので余りが1次式か定数となっていることを示しています。これを総じて考えると、2次式で割ったときの余り
Rは、"ax+b"とおくことができるんですね。
ここ、かなり重要です。
このことから①式は、
P(x)=Q(x) (x−1)(x+2)+ax+b
となります。あとは題意より"P(1)=3、P(−2)=−6"なので
P(1)=a+b=3 ー②
P(−2)=−2a+b=−6 ー③
②と③より"a=3、b=0"が求まります。
このことから、
求める余りはR=ax+b=3xとなります。
問題3
P(x)=x³+ax²+bx+2がx−1で割り切れて、x+2で割ると余りが−12となるように、定数aとbの値を求めてみましょう。
剰余の定理を用います。割り切れるということは余りが0ということなので、"
P(1)=0"となります。
P(1)=1+a+b+2=0
a+b+3=0
a+b=−3 ー①
x+2で割ったときの余りが−12なので、"
P(−2)=−12"となります。
P(−2)=(−2)³+a(−2)²+b(−2)+2=−12
−8+4a−2b+2=−12
4a−2b=−6
2a−b=−3 ー②
①と②より
"a=−2、b=−1"が求まります。
問題4
整式P(x)を"x²+3x+2"で割ると余りは"x+1"、"x²+7x+12"で割ると余りは"2x+3"です。このときP(x)を"x²+5x+6"で割ったときの余りを求めてみましょう。
"x²+3x+2"を因数分解すると"(x+1)(x+2)"
"x²+7x+12"を因数分解すると"(x+3)(x+4)"
"x²+5x+6"を因数分解すると"(x+2)(x+3)"
何か関係がありそうですね。とりあえず頭の片隅にいれておきましょう。
では1つずつ問題を小分けにして考えていきます。
まず整式P(x)を"x²+3x+2"で割ったときの商をQ(x)とすると
P(x)=Q(x) (x²+3x+2)+x+1
P(x)=Q(x) (x+1)(x+2)+x+1
となります。"x²+3x+2"を因数分解した"(x+1)(x+2)"と、"x²+5x+6"を因数分解した"(x+2)(x+3)"とでは、(x+2)が共通した値なので、x=ー2のときのP(x)の値を求めておきます。
P(−2)=Q(−2) (−2+1)(−2+2)+−2+1=−1
P(−2)=−1
続いて整式P(x)を"x²+7x+12"で割ったときの商をQ'(x)としましょう。すると
P(x)=Q'(x) (x²+7x+12)+2x+3
P(x)=Q'(x) (x+3)(x+4)+2x+3
"x²+7x+12"を因数分解した"(x+3)(x+4)"と、"x²+5x+6"を因数分解した"(x+2)(x+3)"とでは、(x+3)が共通した値なので、x=ー3のときのP(x)の値を求めておきます。
P(−3)=Q'(−3) (−3+3)(−3+4)+2(−3)+3=−3
P(−3)=−3
そして整式P(x)を"x²+5x+6"で割ったときの商をQ''(x)、余りを"ax+b"としましょう。(余りがなぜax+bとおけるかがわからない人は、「問題2」を参照してください。)すると
P(x)=Q''(x) (x²+5x+6)+ax+b
P(x)=Q''(x) (x+2)(x+3)+ax+b
とおくことができます。
先ほど"P(−2)=−1,P(−3)=−3"を求めてあるので、これらを用いて計算をしていきます。
P(−2)=Q'(−2) (−2+2)(−2+3)+a(−2)+b
P(−2)=−2a+b=−1 ー①
P(−3)=Q'(−3) (−3+2)(−3+3)+a(−3)+b
P(−3)=−3a+b=−3 ー②
①、②より"a=2、b=3"が求まるので、
余りは2x+3となります。