因数定理の練習問題
ここでは、因数定理に関する様々な形の問題の解説をしています。あなたがわからないタイプの問題もきっと扱っているはずです。
問題1
整式"P(x)=x³+6x²+kx−12"が( x+4)で割り切れるように、定数kの値を求めてみましょう。
早速
因数定理を用います。P(x)が"x+4"で割り切れるということは、"P(−4)=0"ということですね。ここに気がつけるかがポイントです。
P(−4)=(−4)³+6(−4)²−4k−12=0
−64+96−4k−12=0
−4k+20=0
4k=20
k=5
これが正しいかどうかは、"k=5"を代入した式が、"x+4"で割り切れるかを計算してみればわかります。
x³+6x²+5x−12=(x+4)(x²+2x−3)=()x+4(x−1)(x+3)
となるので、きちんと割り切れますね!
よって
答えは、"k=5"となります。
問題2
整式"P(x)=x³−m²x²+4x+m+1"が( x−1)で割り切れるように、定数mの値を求めてみましょう。
因数定理を用います。P(x)が"x−1"で割り切れるということは、"P(1)=0"ということですね。ここに気がつけるかがポイントです。
P(1)=1−m²+4+m+1=0
−m²+m+6=0
m²−m−6=0
(m−3)(m+2)=0
m=3、ー2
答えが2つ出ましたね。正しいか確認をしてみましょう。
これが正しいかどうか確認するために、"m=3、m=ー2"を代入した式が、"x−1"で割り切れるかを計算してます。
■m=3のとき
与えられた式は、"P(x)=x³−9x²+4x+4"
P(x)=(x−1)(x²−8x−4)
となり、きちんと割り切れますね。
■m=−2のとき
与えられた式は、"P(x)=x³−4x²+4x−1"
P(x)=(x−1)(x²−3x+1)
となり、こちらもきちんと割り切れますね。
以上のことから、
"m=3、m=−2"のときに題意を満たすことがわかります。