二項定理の応用[(x＋y＋z)ⁿの係数を求める問題：多項定理の解き方]

二項定理を応用して、(x＋y＋z)ⁿの展開を行ってみましょう。
３つの項の式の展開ができれば、４つの項、５つの項の式の展開も容易くなりますので、しっかりとマスターしておきたいところです。まずは１題、一緒に解きながら説明していきます。




(x＋y＋z)⁵をばらすと

(x＋y＋z)⁵＝(x＋y＋z)(x＋y＋z)(x＋y＋z)(x＋y＋z)(x＋y＋z)

二項定理の解説で説明した通り、(x＋y＋z)⁵とは(x＋y＋z)を５回かける中でx、y、zの組み合わせを考えることでした。
xy³zは、(x＋y＋z)を５回かける中でxを１回、yを３回、zを１回とる組み合わせとなります。

ではxy³zとなる組み合わせは何個あるかを考えていきます。この組み合わせの数が係数の値と等しくなるんでしたね。

(x＋y＋z)が５つある中からxを１つだけ選ぶ組み合わせは、₅C₁通りあります。よって"₅C₁x"

xを選んだあと、残りの４つの(x＋y＋z)の中からyを３つ選ぶ組み合わせは、₄C₃通りあります。よって"₄C₃y³"

xとyを選んだあと、残り１つの(x＋y＋z)の中からzを１つ選ぶ組み合わせは、₁C₁通りあります。よって"₁C₁z"

これらを掛け合わせることで、xy³zの係数が求まります。

₅C₁x・₄C₃y³・₁C₁z＝２０xy³z

今まで解いてきた二項定理とは解き方が異なるので最初は戸惑いを感じるかもしれませんが、問題をいくつ解いていくうちに自然と身に付くはずです。それでは早速、練習問題を解いてみましょう。