二項定理のわかりやすい解説

教科書に載っている二項定理の公式を用いれば、だいたいの問題を解くことができます。単に覚えるのは簡単なことですが、ここでは、なぜそうなるのかを理解して覚えられるように解説していきます。



説明しやすくするために、"(a＋b)⁴"という数式を使って解説をします。

(a＋b)⁴とは、(a＋b)を４回掛け合わせたものです。式にすると

(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)

この式は何を表すかというと、aが４つ、bが４つある中から、aとbの組み合わせを考えなさい(ただしaとbの数は併せて４個まで使える)ということです。イメージしやすいように書き出すと

aが４つ、bが４つある中から

・aを４つとったとき"a⁴"
・aを３つbを１つとったとき"a³b"
・aを２つbを２つとったとき"a²b²"
・aを１つbを３つとったとき"ab³"
・bを４つとったとき"b⁴"

という５つの項ができあがります。では

(a＋b)⁴=_a⁴+_a³b+_a²b²+_ab³+_b⁴

かというとそうではなく、赤線に入る係数も考えなくてはなりません。

ここで、それぞれの項がいくつ出来上がるのかを考えてみましょう。
まずは(a＋b)⁴を展開するときに"a⁴"がいくつできるか考えてみます。
４つのすべての(a＋b)の中からaを取り出したときのみ"a⁴"の組み合わせができます。

(a＋b)	(a＋b)	(a＋b)	(a＋b)
a	a	a	a

では"a²b²"はどうでしょうか。"a²b²"となる組み合わせは

(a＋b)	(a＋b)	(a＋b)	(a＋b)
a	a	b	b
a	b	a	b
a	b	b	a
b	a	a	b
b	a	b	a
b	b	a	a

の６通りです。



同じように他の項も考えていくと、"a³b"は４通り、"ab³"は４通り、"b⁴"は１通りの組み合わせができます。(a＋b)ⁿという式において、いまみてきた係数と組み合わせには大きな関係があります。

「組み合わせの数＝係数」

となるのです。
(※ただし、(a+2b)ⁿのような式では、組み合わせの数＝係数とはならないので注意が必要です。あくまでも二項定理を理解するためのとっかかりの部分としてこのように説明しています。)

・"a⁴"が１個
・"a³b"が４個
・"a²b²"が６個
・"ab³"が４個
・"b⁴"が１個

(a＋b)⁴を展開してみると、
(a＋b)⁴=1a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+1b⁴

と見事に組み合わせの数と係数の値が一致しましたね。

このように項の組み合わせを考えることで係数が求まるのですが、係数を求めるためにいちいち組み合わせを考えているとキリがありません。そこで、係数を簡単に求めることができる計算式が誕生しました。それが二項定理です。



(a＋b)⁴を展開した項の係数に規則性がないか考えてみると

"a⁴"：₄C₀=1個
"a³b"：₄C₁=4個
"a²b²"：₄C₂=6個
"ab³"：₄C₃=4個
"b⁴"：₄C₄=1個

と表記できることに気がつけます。
これを公式としてまとめると次のようになります。



これが二項定理です。