(a＋b)ⁿの展開
(a＋b) ＝a＋b
(a＋b)²＝a²＋２ab＋b²
(a＋b)³＝a³＋３a²b＋３ab²＋b³
(a＋b)⁴＝a⁴＋４a³b＋６a²b²＋４ab³＋b⁴
(a＋b)⁵＝a⁵＋５a⁴b＋１０a³b²＋１０a³b²＋５ab⁴＋b⁵
(a＋b)ⁿを展開したときの項の
係数だけを並べると
(a＋b) ：１ １
(a＋b)²：１ ２ １
(a＋b)³：１ ３ ３ １
(a＋b)⁴：１ ４ ６ ４ １
(a＋b)⁵：１ ５ 10 10 ５ １
"(a＋b)ⁿ"の係数だけを集めて、次の図のように三角形の形にまとめたものを、
パスカルの三角形といいます。
パスカルの三角形で並べた係数の並び方には規則性があります。
ある数は、左上と右上の数字の和
この三角形を用いると、"(a＋b)ⁿ"の展開が楽になります。例えば、"(a＋b)⁵"を展開する場合を考えます。パスカルの三角形から"(a＋b)⁵"を展開したときの係数の並びは、左から
"
１ ５ １０ １０ ５ １"
また、"(a＋b)⁵"を展開したときの項は左から、
"a⁵ a⁴b a³b² a²b³ ab⁴ b⁵"
の６つなので、これらを組み合わせて
"
(a＋b)⁵＝a⁵＋５a⁴b＋１０a³b²＋１０a³b²＋５ab⁴＋b⁵"
ちなみに(a＋b)の１００乗を計算しようと思うと、パスカルの三角形を１００段まで求めなければならず実用的ではありません。こういうときは、次に学習する
二項定理を用いて展開していくことになります。
