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積和の公式 sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}　証明・導き方・覚え方

著者名：となりがトトロ

sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}

sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}の証明の前に、cosの加法定理
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
が成り立つことを理解しておきましょう。これらが成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

加法定理より
$\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ 　　－①
$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ 　　－②

①－②より
$\cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) =-2 \sin \alpha \sin \beta$

これを整理すると
$\sin \alpha \sin \beta =- \frac{1}{2} \left( \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \right)$

以上のことから、この公式が成り立つことがわかった。
証明おわり。

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『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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