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積和の公式 sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}　証明・導き方・覚え方

著者名：となりがトトロ

sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}

sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}の証明の前に、sinの加法定理
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
が成り立つことを理解しておきましょう。これらが成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

加法定理より
$\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ 　　－①
$\sin \left( \alpha - \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ 　　－②

①＋②より
$\sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
$\sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) =2 \sin \alpha \cos \beta$

これを整理すると
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \right)$

以上のことから、この公式が成り立つことがわかった。
証明おわり。

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『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

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