和積の公式 cosA+cosB=2{cos(A+B)/2}{cos(A-B)/2}　作り方・導き方

著者名：となりがトトロ

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cosA+cosB=2{cos(A+B)/2}{cos(A-B)/2}

この公式を導き出す前に、積和の公式
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
が成り立つことを理解しておきましょう。
この公式が成り立つことを前提に、証明をしていきます。

証明

積和の公式より
$\cos A \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos \left( A + B \right) + \cos \left( A - B \right) \right)$

「Ａ」と「Ｂ」をそれぞれ
$\frac{A+B}{2} , \frac{A-B}{2}$
に置き換えると
$\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2} \right) \right)$
$\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos A+ \sin B \right)$

これを整理すると
$\cos A+ \cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

以上のことから、この公式が成り立つことがわかる。
証明おわり。

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数学Ⅱ, 和積の公式, 和積の公式の証明, 和積の法則, 和積の法則の証明,

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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