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三角関数の合成公式（合成関数）の証明 asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+α)

著者名：となりがトトロ

asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+α)の証明

$a \sin \theta +b \cos \theta = \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \sin \left( \theta + \alpha \right)$

ただし、次の条件とする。
$\sin \alpha = \frac{b}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$
$\cos \alpha = \frac{a}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$

の証明を行います。

証明

$\sin \alpha = \frac{b}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$
より、これを変形して
$b= \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \sin \alpha$ 　　－①

$\cos \alpha = \frac{a}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$
同様にしてこれを変形すると
$a= \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \cos \alpha$ 　　－②

①と②を
$a \sin \theta +b \cos \theta$
に代入する。

$a \sin \theta +b \cos \theta$
$= \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \sin \theta \cos \alpha + \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \cos \theta \sin \alpha$
$= \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)$

加法定理の逆より

$\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha = \sin \left( \theta + \alpha \right)$

よって、
$\sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right) = \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }\sin \left( \theta + \alpha \right)$

以上のことから
$a \sin \theta +b \cos \theta = \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \sin \left( \theta + \alpha \right)$
が成り立つことがわかる。

証明終わり。

・加法定理の証明　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）の証明

・加法定理の証明　cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβの証明

・加法定理の証明　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβの証明

・和積の公式 sinA+sinB=2{sin(A+B)/2}{cos(A+B)/2}　作り方・導き方

・２倍角の公式　tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明と例題

証明, 合成関数, 合成公式,

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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