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三角比で三角形の面積を求める公式の証明（S=1/2bc sinA）

著者名：となりがトトロ

三角比で三角形の面積を求める方法の証明

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△ＡＢＣにおいて、次の公式が成り立つ。
$S= \frac{1}{2} bc \sin A= \frac{1}{2} ca \sin B= \frac{1}{2} ab \sin C$
この公式の証明をしていく。

証明

Ｃから辺ＡＢに対して垂直に線をおろし、その交点をＨとする。わかりやすくするために、ＡＣ=ｂ、ＡＢ=ｃ、ＣＨ=ｈとする。

△ＡＣＨにおいて、
$\sin A= \frac{h}{b}$

なのでこれを変形して、
$h=b \sin A$

ところで三角形の面積を求めるには、底辺×高さ÷２をすればよかった。この△ＡＢＣの面積Ｓは
$S=c \times h \div 2= \frac{1}{2} ch$
で求めることができる。

さきほど
$h=b \sin A$

であると求めたので、これを三角形の面積の公式に代入をする。すると
$S= \frac{1}{2} ch= \frac{1}{2} c \times b \sin A= \frac{1}{2} bc \sin A$

が求まる。
今回は∠Ａを基準に証明をしたが、他の角においても同様にして証明することができる。

証明おわり。

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・三角比を使って三角形の面積を求める方法

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『教科書　数学Ⅰ』　東京書籍

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