練習問題を通して理解を深めよう
とある２次関数において最大値と最小値の値がわかり、かつｘの範囲（定義域）が与えられた状態で、この２次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。
定義域を－３≦ｘ≦０とする関数f(x)=ax²+2ax+bの最大値が２、最小値が－２のとき、定数ａとｂの値を求めよ
まずf(x)=ax²+2ax+bを整理して、この２次関数の頂点の座標を求めていく。
f(x)=ax²+2ax+b
f(x)=a(x²+2x)+b
f(x)=a(x+1)²-a+b
またａはプラスかマイナスかがわからないので、求める２次関数は（－１、－ａ＋ｂ）を頂点とした下に凸なグラフ（ａ＞０のとき）か、上に凸のグラフ（ａ＜０のとき）を描くことが予想できる。ａ＞０とａ＜０の２パターンについて考えていく。ちなみにａ＝０のときｆ（ｘ）は２次関数ではなくなってしまうので計算にいれない。
■ａ＞０のとき
ａ＞０のとき、グラフの予想図は次のようになる。－３≦ｘ≦０であることを忘れないように。
ａ＞０のとき、グラフの頂点のｙ座標の値が最小値となるので
－ａ＋ｂ＝－２ ・・・①
またグラフから、ｘ＝－３のときに最大値３ａ＋ｂなので
３ａ＋ｂ＝２ ・・・②
①－②よりａ＝１。これを①に代入して、ｂ＝－１が求まる。
問題は、ａとｂの値を求めよなのでこれが答えとなる。
■ａ＜０のとき
ａ＜０のとき、グラフの予想図は次のようになる。こちらでも－３≦ｘ≦０であることを忘れないように。
ａ＜０のとき、グラフの頂点のｙ座標が最大値となるので
－ａ＋ｂ＝２ ・・・③
またグラフから、ｘ＝－３のときに最小値３ａ＋ｂなので
３ａ＋ｂ＝－２ ・・・④
③－④よりａ＝－１。これを③に代入してｂ＝１が求まる。
グラフが下に凸なのか上に凸なのかを考えること、そしてきちんとグラフを描くことが正解への近道である。
