２次関数の最大値と最小値「軸を場合分けして考える問題」

次のような２次関数の最大最小値を求めよという問題があったら、みなさんはどのように解きますか？

　…①　(－３≦ｘ≦３　ただし　ａ≠０)

とりあえず、①のグラフを描いてみましょう。

ですので、①は(２ａ、－３ａ)を頂点とする下に凸のグラフになります。
①の関数は、次の４パターンにわけて考えなければなりません。
次のグラフをみながら考えてみてください。



軸２ａが－３よりも左側のとき、つまり２ａ＜－３

のときです。

このとき、①の関数は、グラフ１のような位置になります。
最大値はｘ＝３のとき、
最小値はｘ＝－３のとき、
となります。

続いて軸２ａが－３≦ｘ≦３、設問よりなので
－３≦２ａ＜０、０＜２ａ≦３　すなわち
、　のときです。
この２つのパターンで、最大の値が変わってきます。

　のとき、
グラフ２よりｘ＝－３のときに最大値　
ｘ＝２ａのときに、最小値

のとき
グラフ３よりｘ＝３のときに最大値　
ｘ＝２ａのときに、最小値

となります。

軸２ａが３よりも右側のとき、つまり２ａ≦３　すなわち
　のときです。

このときは、グラフ４より
ｘ＝－３のときに最大値　
ｘ＝３のときに最小値　

となります。