加法定理の証明
正弦（sin）と余弦（cos）には加法定理という法則が存在します。
=cos \alpha cos \beta -sin \alpha sin \beta )
…①
=cos \alpha cos \beta %2Bsin \alpha sin \beta )
…②
=sin \alpha cos \beta %2Bcos \alpha sin \beta )
…③
=sin \alpha cos \beta -cos \alpha sin \beta )
…④
まずは①と②の証明をしてみましょう。
証明
まず図のように、αとβ、そして点Ａと点Ｐをとります。
このときＰの座標はＰ（（ｃｏｓ（α＋β），ｓｉｎ（α＋β））となりますね。
ここでＡＰの長さに注目をします。
 -1\right) ^{2} %2B \left( \sin \left( \alpha %2B \beta \right) -0\right) ^{2} )
これを展開して整理すると
)
…⑤
続いて次の図を見てください。
先ほどの図形を点ＰとＡを、原点を中心に－αだけ回転させたものになります。
このときＱとＲの座標は
Ｑ（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）、Ｒ（ｃｏｓα，－ｓｉｎα）となります。
ここでも、先ほどと同じように
ＱＲの長さに注目します。
 ^{2} %2B \left( \sin \beta %2B \sin \alpha \right) ^{2} )
これを展開して整理すると
…⑥
△ＯＡＰと△ＯＲＱは合同な三角形なので
です。
⑤と⑥を用いて
=2-2 \cos \alpha \cos \beta %2B2 \sin \alpha \sin \beta )
これを展開して整理すると
が成り立つことがわかりますね。
ここで①の式において、「β」を「－β」に置き換えて考えてみましょう。
の「β」を「－β」に置き換えると
=cos \alpha cos \left(- \beta \right) -sin \alpha sin \left( - \beta \right) )
となりますが
=cos \beta)
,
=-sin \beta)
ですのでこの式は
となり、②も成り立つことがわかりました。
③と④の証明は次回行いましょう。
まずはこのコサインの公式を導けるように自分で解き直してみてください。
