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sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ　加法定理の証明

著者名： OKボーイ

前回のおさらい

前回は加法定理の中でも
$cos\left(\alpha + \beta \right)=cos \alpha cos \beta -sin \alpha sin \beta$ 　
$cos\left(\alpha - \beta \right)=cos \alpha cos \beta +sin \alpha sin \beta$ 　
の２つの定理について証明をしました。今回はその第２回目です。
ここでは
$sin\left(\alpha + \beta \right)=sin \alpha cos \beta +cos \alpha sin \beta$ 　　…①
$sin\left(\alpha - \beta \right)=sin \alpha cos \beta -cos \alpha sin \beta$ 　　…②
について証明をしていきましょう。

証明

前回の証明で
$cos\left(\alpha + \beta \right)=cos \alpha cos \beta -sin \alpha sin \beta$ 　
であることがわかりました。この両辺のαを
$\frac{1}{2} \pi + \alpha$ 　で置き換えてみます。
左辺は
$cos \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha + \beta \right)$ 　　
右辺は
$cos \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha \right) cos \beta -sin \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha \right) sin \beta$ 　

ここで思い出してみてください。
$sin\left( \theta + \frac{1}{2} \pi \right)=cos \theta$
$cos\left( \theta + \frac{1}{2} \pi \right)=-sin \theta$
という公式がありましたね。

この公式でθをα＋βと考えると左辺の式は
$cos \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha + \beta \right)=-sin \left( \alpha + \beta \right)$ 　　…③となります。

同じように右辺の式を考えると
$cos \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha \right) cos \beta -sin \left(\frac{1}{2} \pi + \alpha \right) sin \beta$ 　　において
$sin\left( \frac{1}{2} \pi + \alpha \right)=cos \alpha$
$cos\left( \frac{1}{2} \pi + \alpha \right)=-sin \alpha$
ですので、これらを右辺の式に代入して整理をすると
$-\left(sin \alpha cos \beta +cos \alpha +sin \beta \right)$ 　　…④

③＝④より
$sin\left(\alpha + \beta \right)=sin \alpha cos \beta +cos \alpha sin \beta$
であることがわかります。
②の式については、余弦の証明のときと同じように、「β」を「－β」に置き換えて考えれば導きだすことができます。

・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ　加法定理の証明

・sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ　加法定理の証明

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『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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