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放物線にみる軌跡

著者名： OKボーイ

２次関数の放物線を使った軌跡の問題

$y=x^{2}-2x+3$ 　上に点Ｑをとります。これとは別に点Ａ（２，２）を設け、線分ＡＱを２：１に外分する点Ｐの軌跡を求めてみましょう。

まず、点ＰとＱの座標をＰ（ｘ，ｙ）、Ｑ（ｓ，ｔ）とします。
このときＱは $y=x^{2}-2x+3$ 　上の点ですので
$t=s^{2}-2x+3$ 　…①　となります。

また点Ｐは、線分ＡＱを２：１に外分する点ですから
$x= \frac{-1 \cdot 2 +2 \cdot s}{2-1} =-2+2s$
整理して　 $s= \frac{x+2}{2}$

$y= \frac{-1 \cdot 2+2 \cdot t}{2-1} =-2+2t$
整理して　 $t= \frac{y+2}{2}$

これらを①に代入すると
$\frac{y+2}{2} =\left( \frac{x+2}{2} \right)^{2}-2 \cdot \frac{x+2}{2} +3$

展開すると
$y= \frac{1}{2} x^{2}-x+2$ 　…②　となります。

以上のことから、点Ｐは放物線②上にあることがわかります。
そして放物線②上にある任意の点は、この計算を遡ると点Ｐの条件を満たすことがわかります。

よって求める点の軌跡は、　
放物線　 $y= \frac{1}{2} x^{2}-x+2$ 　となります。

・アポロニウスの円

・２つの点から等距離にある点の軌跡の求め方

・点の軌跡を求める問題[アポロニウスの円の証明]

・軌跡の意味[点の軌跡と方程式]

・点の軌跡を求める問題が簡単に解ける解法テクニック

２次関数, 方程式, 放物線, 放物線の軌跡,

『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

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