定積分と微分法の公式の証明

著者名：ふぇるまー

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定積分と微分法

ここでは、次の公式を証明していきます。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dx=f(x)$

要するに、

$\int_{a}^{x} f(t)dx$

をxで微分するとf(x)になるという公式の証明です。

証明

f(t)を積分した式の１つをF(t)とします。つまり、

$\frac{d}{dx} F(t)=f(t)$

という関係です。f(t)をaからxの範囲で積分します。

$\int_{a}^{x} f(t)dt= \left[F(t)\right]_{a}^{x} = F(x) - F(a)$

この関係式を、xで微分してみましょう。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt$

$=\frac{d}{dx} \left[F(t)\right]_{a}^{x}$

$=\frac{d}{dx} \left{F(x) - F(a) \right}$

$=F ^{,} (x) - F ^{,} (a)$

さてここでF(a)について考えてみます。aは定数であることから、F(a)もまた定数となります。例えば３を微分すると(３)'＝０となるように、定数を微分したものは０となることから、"F'(a)＝０"が成り立つことがわかるはずです。このことから、

F'(x)−F'(a)＝f(x)−０＝f(x)

以上より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dx=f(x)$

が成り立つことがわかりました。

・定積分の公式の証明(８)

・定積分と微分法の公式の証明

・定積分の公式の証明(５)

・定積分の計算法則

・定積分の公式の証明(３)

・定積分で表された関数の問題

・定積分の公式・計算法則の一覧

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2013　数学Ⅱ　東京書籍

2013　数学Ⅱ　数研出版

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