不定積分と関数の決定
＜問題＞
y＝f(x)のグラフは、点(１,０)を通り、その曲線上の点(x,y)における接線の傾きは３x²である。このとき曲線の方程式を求めなさい。
ここでは、この形式の問題について解説していきます。
解説の前に１つ思い出してください。
簡潔にいうと、
"y＝f(x)"の曲線において、接線の傾きはf'(x)である
例えばx座標が１の点における接線の傾きはf'(１)、x座標が２の点における接線の傾きはf'(２)で求めることができました。
このことを頭にいれて、もう１度問題文を読んでみましょう。
＜問題＞
y＝f(x)のグラフは、点(１,０)を通り、その曲線上の点(x,y)における接線の傾きは３x²である。このとき曲線の方程式を求めなさい。
設問で与えられている情報を、グラフに書いてみます。
y＝f(x)がどのような形をした曲線なのかわからないので、とりあえず適当に曲線をかいてみました。(なぜ３次関数の曲線なのかは後で説明をします)。y＝f(x)は点(１,０)を通ることだけわかっているので、それは示してあります。
このグラフ上の点(x,y)における接線の傾きが"３x²"なので、これもグラフに書き加えます。
(x,y)がどこなのかは問題文からはわからないので、適当にとっています。
ここで思い出しましょう。
y＝f(x)の接線の傾きは、f'(x)であることから、この問題においては
f'(x)＝３x²
が成り立ちますね。
あとは、
与えられた条件から関数を求める問題と同じように解いていけばいいですね。
"f'(x)＝３x²"より
f(x)＝x³＋C ー①
そして問題文より、①が点(１,０)を通ることから、
f(１)＝１＋C＝０
C＝−１
以上から求める曲線の方程式は、
y＝x³−１
であることがわかりました。
"y＝f(x)"の曲線において、接線の傾きはf'(x)である
これをしっかりと覚えているかどうかが解法への鍵となります。
なぜ３次関数の曲線を描いたのか
問題を一通りみたところで、先ほど適当に書いたグラフがなぜ３次関数のグラフだったのかについて説明しましょう。
答えは簡単で、
接線の傾きが"３x²"と２次式だったからです。
接線の傾きが２次式ということは、接する曲線は３次式であると予測できますよね。仮に接線の傾きが"２x"であれば、求める曲線の方程式は２次式と予測できます。このように、与えられた情報から正確な予測ができるようになるためには、何題も何題も繰り返し練習問題を解くことが必要です。
