不定積分"∮kf(x)dx=k∮f(x)dx"公式の証明

ここでは、不定積分の公式の１つである



の証明を行います。


微分するとf(x)となる式の１つをF(x)とします。
このときf(x)とF(x)の関係は、

F'(x)＝f(x)

であることを頭にいれておきましょう。「不定積分の＋Cはどこにいったの？」と思う人は、"F(x)＝○○＋C"のように、"+C"はすでにF(x)の中に含まれているとイメージするとわかりやすかと思います。ちなみにこのとき、F(x)をf(x)の不定積分である、または原始関数であるといいます。


ここで思い出しましょう。
導関数の公式で、次のようなものがありました。



これを、F(x)を用いて置き換えると

{kF(x)}'＝kF'(x)

最初にF'(x)＝f(x)と決めたので、このことから

{kF(x)}'＝kF'(x)＝kf(x)

この式は、「kF(x)を微分したらkf(x)である」を意味します。
これを異なった式で書くと

kF(x)＝∮kf(x)dx　ー①

となりますね。
一方で"F'(x)＝f(x)"なので、これも異なった式で書くと

F(x)＝∮f(x)dx

この式の両辺を、実数kを使ってk倍します。

kF(x)＝k∮f(x)dx　ー②

①と②より、

∮kf(x)dx＝k∮f(x)dx

が成り立つことがわかります。