すべての次数が同じだったときの因数分解
因数分解をする式の中に２つ以上の文字がある場合は、次数の最も小さい文字について整理を行いました。そこで、次の式をみてみましょう。
２ｘ²＋ｙ²＋３ｘｙ－３ｘ－２ｙ＋１
この式は、ｘとｙの次数が１です。次数の最も小さい文字について整理をしたいのですが、それが２つあることになります。このような同じ場合、
ｘかｙ(好きな方）に着目を整理し、降べきの順に項を並べていきます。ここではｘに着目をして整理していきましょう。
２ｘ²＋ｙ²＋３ｘｙ－３ｘ－２ｙ＋１
＝２ｘ²＋(３ｙ－３)ｘ＋ｙ²－２ｙ＋１
定数項"ｙ²－２ｙ＋１"は因数分解できそうです。
ｙ²－２ｙ＋１＝(ｙ－１)(ｙ－１)より
２ｘ²＋(３ｙ－３)ｘ＋ｙ²－２ｙ＋１
＝２ｘ²＋(３ｙ－３)ｘ＋(ｙ－１)(ｙ－１)
今度は、この式が因数分解できないかを考えます。
"acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)"の公式より
２ｘ²＋(３ｙ－３)ｘ＋(ｙ－１)(ｙ－１)
＝(２ｘ＋ｙ－１)(ｘ＋ｙ－１)
次数が同じ項が２つ以上ある場合には、いずれかの文字について式を整理し、降べきの順に並べて考える
練習問題
問題 次の式を因数分解せよ
（１） a²(b－c)＋b²(a＋c)－c²(a＋b)
まず式を展開します。
a²(b－c)＋b²(a＋c)－c²(a＋b)
＝a²b－a²c＋ab²＋b²c－ac²－bc²
この式の中で最も小さい次数は１ですが、次数が１となる項が複数あります。ですので、
どれか１つ、文字を選んで整理をしていきます。ここではaについて整理して、降べきの順に並べていきます。
先ほど展開した式を、aについて整理し降べきの順に並べます。
a²(b－c)＋b²(a＋c)－c²(a＋b)
＝a²b－a²c＋ab²＋b²c－ac²－bc²
＝a²(b－c)＋(b²－c²)a＋b²c－bc²
"(b²－c²)"と"b²c－bc²"は因数分解できますので、先にやってしまいましょう。
"(b²－c²)＝(b＋c)(b－c)"、"b²c－bc²＝bc(b－c)"より
a²(b－c)＋(b²－c²)a＋b²c－bc²
＝a²(b－c)＋(b＋c)(b－c)a＋bc(b－c)
どうやら共通因数"(b－c)"でくくり出せそうです。
a²(b－c)＋(b＋c)(b－c)a＋bc(b－c)
＝(b－c)｛a²＋(b＋c)a＋bc｝
"a²＋(b＋c)a＋bc"は、"
x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)"という公式にあてはめることができますね。
(b－c)｛a²＋(b＋c)a＋bc｝＝(b－c)(a＋b)(a－c)
見栄えをよくして(a＋b)(a－c)(b－c)
因数分解するために、１度展開をしてから因数分解にとりかかることがある
