不定積分の公式の証明
ここでは、不定積分の公式の１つである
∮{f(x)＋g(x)}dx＝∮f(x)dx＋∮g(x)dx
の証明を行います。
証明
微分するとf(x)となる式の１つをF(x)、微分するとg(x)となる式の１つをG(x)とします。 このときf(x)とF(x)、g(x)とG(x)の関係は、
F'(x)＝f(x)
G'(x)＝g(x)
であることを頭にいれておきましょう。
ここで思い出しましょう。
導関数の公式で、次のようなものがありました。
{F(x)＋G(x)}'＝F'(x)＋G'(x)
これをさらに計算すると、
{F(x)＋G(x)}'＝F'(x)＋G'(x)＝f(x)＋g(x)
"{F(x)＋G(x)}"を微分すると"f(x)＋g(x)"になるということは、
∮{f(x)＋g(x)}dx＝{F(x)＋G(x)} ー①
となります。
一方で、F(x)を微分するとf(x)、G(x)を微分するとg(x)であることから
∮f(x)dx＝F(x) ー②
∮g(x)dx＝G(x) ー③
であることがわかります。
②、③を①に代入すると、
∮{f(x)＋g(x)}dx＝∮f(x)dx＋∮g(x)dx
が成り立つことがわかります。
