ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。
kとmが定数のとき"y＝kf(x)−mg(x)"の導関数は、
y'＝{kf(x)−mg(x)}'＝kf'(x)−mg'(x)
"kf(x)＝kx³"、"mg(x)＝mx²"として、この関数を
導関数の定義に従って微分してみましょう。
"y＝kf(x)−mg(x)＝kx³−mx²"なので、x＋hを代入すると、
kf(x＋h)−mg(x＋h)
＝k(x＋h)³−m(x＋h)²
＝k(x³＋３x²h＋３xh²＋h³)−m(x²＋２xh＋h²)
＝kx³＋３kx²h＋３kxh²＋kh³−mx²−２mxh−mh²
＝kh³＋h²(３kx−m)＋h(３kx²−２mx)＋kx³−mx²
-mg(x%2Bh)\right}-\left{kf(x)-mg(x)\right}}{h} )
%2Bh(3kx ^{2} -2mx)%2Bkx ^{3} -mx ^{2} -\left{kx ^{3} - mx ^{2}\right} }{h} )
%2Bh(3kx ^{2} -2mx)%2Bkx ^{3} -mx ^{2} -kx ^{3} %2B mx ^{2} }{h} )
%2Bh(3kx ^{2} -2mx)}{h} )
%2B3kx ^{2} -2mx )
極限値の計算方法より
"y＝kf(x)"の導関数は"y'＝kf'(x)"の公式より、"kf(x)"の導関数"kf'(x)"と"mg(x)"の導関数"mg'(x)"は次のようになります。
kf'(x)＝k(x³)'＝３kx²
mg'(x)＝m(x²)'＝２mx
つまり、先ほど求めた"y'"は、
-mg ^{,} (x))
以上のことから、kとmが定数のとき"y＝kf(x)−mg(x)"の導関数は、
y'＝{kf(x)−mg(x)}'＝kf'(x)−mg'(x)であるといえます。
