円の方程式
この単元では、円(だ円は含まない)について考えていきます。
まず基本となる
円の方程式についてみていきましょう。
点(１，１)を中心とする半径２の円の方程式
円の方程式では、このような表現がされます。
直線の方程式の基本形が"ax＋by＋c＝０"であるように、円の方程式にも基本形があるので、まずはそれをおさえましょう。
点(a，b)を中心とし、半径がrの円の方程式は
(x−a)²＋(y−b)²＝r²
先ほどの「点(１，１)を中心とする半径２の円」を方程式で表すと
(x−１)²＋(y−１)²＝４
となります。
では、原点(０，０)を中心とし、半径が２の円の方程式はどうなるでしょうか。
これも基本形に値を代入するだけで求めることができます。
"(x−０)²＋(y−０)²＝２²"つまり、
x²＋y²＝４となります。
練習問題
次の円の方程式を求めなさい。
(１) (２、３)を中心とし、半径が１の円
(２) (１，０)を中心とし、(０、√3)を通る円
(３) (−１，０)と(３，０)を直径の両端とする円
■(１) (２、３)を中心とし、半径が１の円
これは与えられた値を基本の式"(x−a)²＋(y−b)²＝r²"に代入するだけで求まります。
a＝２、b＝３、r＝１なので
(x−２)²＋(y−３)²＝１
■(２) (１，０)を中心とし、(０、√3)を通る円
半径が与えられていませんね。このようなときは自分で求めなくてはいけません。
まず、与えられた条件で図をかいてみましょう。
図を見れば一目瞭然ですが、(１，０)と(０，√3)の距離が円の半径であることがわかりますね。半径をrとすると、
r²＝(１−０)²＋(０−√3)²＝１＋３＝４
半径の長さがわかったので、あとは「(１，０)を中心とし半径が２の円」として方程式を求めます。
"(x−１)²＋(y−０)²＝４"つまり"(x−１)²＋y²＝４"
■(３) (−１，０)と(３，０)を直径の両端とする円
この問題では半径どころか円の中心も与えられていません。
このような場合でもまずは図をかいてみましょう。
２点を結んだ線が円の直径であることがわかりますね。つまり
この２点の中心が円の中心、そしてこの直径の半分の長さが円の半径となります。
円の中心の座標は
 = \left(1 _{,} 0\right) )
そして(１，０)から(３，０)までの距離rは、
r²＝(３−１)²＋（０−０）²＝４
以上からこの円は、(１，０)を中心とする半径が２の円であることがわかりました。これを方程式にすると
"(x−１)²＋(y−０)²＝４"つまり"(x−１)²＋y²＝４"
