空間図形に含まれる三角形の面積
図のような直方体があるとき、AB＝２、AD＝３、AE＝１とする。△AFCで切り取ったとき、この△AFCの面積Sを求めなさい。
まず△AFCで切り取るとどのような三角形になるのか図示してみましょう。
「げっ！」と焦る必要はありません。三角形の面積を求めるために、今まではどのように問題を解いていたでしょうか。
底辺×高さ÷２
いろいろありますね。ここでは、与えられた条件から、「サインを使って三角形の面積を求める公式」を使うのがよさそうです。
では、この公式を△AFCに適用するには、どのような数値が必要かを考えましょう。
△AFCの３辺の長さは求めることができるので、
余弦定理を用いて、cosCAF、cosACF、cosAFCのいずれかを求めることができそうですね。そこから、
sin²A＋cosA²＝１"の公式を用いてsinの値を求めることもできそうです。
AC、AF、FCの長さ
ではまず、AC、AF、FCの長さを求めます。
△ACDに
三平方の定理を使うと、
AC ²＝AD ²＋CD ²＝９＋４＝１３
AC＝√13
同様にして、
AF＝√5、CF＝√10
続いて△AFCに、
余弦定理を用います。今回は、∠CAFに注目をして解いてみます。
"CF²＝AC²＋AF²−２・AC・AF・cosCAF"より、
これを整理すると
次に、
sin²A＋cosA²＝１"の公式を用いて
 ^{2} = \frac{49}{65} )
０°＜∠CAF＜１８０°の範囲では"sinCAF＞０"なので、
以上の計算から、△AFCのAFとACの長さ、そしてsinCAFの値がわかったので、
サインを使って三角形の面積を求める公式より、
