複素数の範囲で２次式を因数分解
解と係数の関係より、
２次方程式"ax²＋bx＋c＝０"の２つの解を"α"と"β"としたとき、
がわかりました。これを用いて、"ax²＋bx＋c＝０"の左辺を因数分解する方法をみていきましょう。"ax²＋bx＋c＝０"の左辺を変形していきます。
 )
 x%2B \frac{c}{a} \right} )
より
 x%2B \frac{c}{a} \right} )
 x%2B \alpha \beta \right} )
以上のことから、次のことがいえます。
２次方程式"ax²＋bx＋c＝０"の２つの解を"α"と"β"としたとき、"ax²＋bx＋c＝０"の左辺は、
"ax²＋bx＋c＝a(x−α)(x−β)"
と変形することができる。
この考え方は、
αとβが虚数解であっても同じで、因数分解することが難しい２次式を因数分解したいときに有効です。
練習問題
次の２次式を因数分解してみましょう。
(１) x²＋２x＋３
(２) ２x²＋６
■(１) x²＋２x＋３
"x²＋２x＋３"は簡単には因数分解できなさそうなので、 "x²＋２x＋３＝０"としてこの２次方程式を満たすxの値を求める作戦で解いていきましょう。
解の公式を用いて答えを求めます。
"ax²＋bx＋c＝０"の２つの解をαとβとしたとき、
"ax²＋bx＋c＝a(x−α)(x−β)"
と変形できるので、"x²＋２x＋３＝０"において、a＝１、α＝−１＋√２ i、β＝−１−√２ i(αとβは逆でもかまいません)を"a(x−α)(x−β)"に代入すると、
x²＋２x＋３＝(x＋１−√２ i)(x＋１＋√２ i)
と因数分解できますね。
■(２) ２x²＋６
"２x²＋６"も簡単には因数分解できなさそうなので、"２x²＋６＝０"として、この２次方程式を満たすxの値を求めていきましょう。
以上のことから、a＝２、α＝√３ i、β＝−√３ i(αとβは逆でもかまいません)を"a(x−α)(x−β)"にあてはめます。
２x²＋６＝２(x−√３ i)(x＋√３ i)
と因数分解できます。
