与えられた2数を解とする2次方程式
2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"と表すことができました。(
『複素数の範囲で2次式を因数分解する問題』より)
特に、"a=1"のとき、"a(x−α)(x−β)=(x−α)(x−β)"となるわけですが、このことから、"ax²+bx+c=0"を満たす式の1つは、
"(x−α)(x−β)=x²−(α+β)+αβ=0"
であることがわかります。
「満たす式の1つ」というには理由があって、
"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"
は、aの値によって無数に考えられるからです。
練習問題
次の2数を解とする2次方程式を作りなさい。
○"1と"1−√3"
このような問題が与えられたら、
指示がない限りは、"a(x−α)(x−β)"のa=1のときの式を答えればOKです。
よって求める式は、"1と"1−√3"を解とする2次方程式でx²の係数が1の場合の式です。"a=1、α=1、β=1−√3"(αとβは逆でもかまいません)としたとき、
"ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)"の式は
ax²+bx+c=(x−1)(x−1+√3)
右辺を展開すると、
"(x−1)(x−1+√3)=x²−(2−√3)x+1−√3"
これが求める2次方程式の値となります。