因数分解してから解く２次不等式の問題
"ax²＋bx＋c＞０"を変形して、"(x−α)(x−β)＞０"とできるタイプの２次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。
"ax²＋bx＋c＝０の解がα、β(α＞β)のとき
"ax²＋bx＋c＞０"の解は、x＜β、α＜x
"ax²＋bx＋c＜０"の解は、β＜x＜α
では実際に問題を解いて確認してみましょう。
問題 次の２次不等式を解きなさい
(１) x²−２x−３＞０
(２) x²−２x−３＜０
■(１) x²−２x−３＞０
まず"x²−２x−３＝０"として、この２次方程式の解を求めます。
x²−２x−３＝０
(x−３)(x＋１)＝０
x＝−１、３
先ほどの決まりに従うと、「
x＜−１、
３＜x」が答えとなるのですが、これだとイメージがしにくいので、"y＝x²−２x−３"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
このグラフでy＞０となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「
x＜−１、
３＜x」のときにy＞０と読み取ることができます。
■(２) x²−２x−３＜０
同じように、"x²−２x−３＝０"として、この２次方程式の解を求めます。
x²−２x−３＝０
(x−３)(x＋１)＝０
x＝−１、３
先ほどの決まりに従うと、「
−１＜x＜３」が答えとなります。同様にして"y＝x²−２x−３"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
このグラフでy＜０となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「
−１＜x＜３」のときにy＜０と読み取ることができます。
理屈がわかったところで、再度以下のことを覚えましょう。
"ax²＋bx＋c＝０の解がα、β(α＞β)のとき
"ax²＋bx＋c＞０"の解は、x＜β、α＜x
"ax²＋bx＋c＜０"の解は、β＜x＜α
