２次関数の平行移動を使った問題

y＝ax²のグラフを平行移動して、
・"y=a(x-p)²"
・"y＝ax²＋q"
・"y=a(x-p)²+q"
の形にすることはすでに学習済みかと思います。

ここでは、これらの平行移動のテクニックを使った練習問題を一緒に解いて、理解を深めていきましょう。




＜ヒント＞
y＝ax²のグラフを平行移動して
・"y=a(x-p)²"
・"y=ax²＋q"
・"y=a(x-p)²+q"
としても、x²の係数であるaの値は変わりません。つまり"y＝２x²"を平行移動したということは、平行移動した後の式は、"y＝２x²＋bx＋c"とおくことができるわけです。

ちなみに"y＝2(x−p)²＋q"とおくことも可能ですが、今回与えられた条件では、この式で解くことはできません。「なんで？」という人は、一度"y＝2(x−p)²＋q"で解いてみると理解できると思います。


y＝２x²のグラフを平行移動したことより、求める２次関数の式は、

"y＝２x²＋bx＋c"　ー①

とおくことができます。この式が(１、３)と(−１、１１)を通ることから、（x＝１、y＝３）、（x＝−１、y＝１１）をそれぞれ代入していきます。


（x＝１、y＝３）を①に代入して

３＝２＋b＋c
b＋c＝１　ー②


（x＝−１、y＝１１）を①に代入して

１１＝２−b＋c
−b＋c＝９　ー③

②＋③より
２c＝１０
c＝５

これを②に代入して
b＋５＝１
b＝−４

以上のことから、b＝−４、c＝５と求まりました。
これを①に代入します。

y＝２x²−４x＋５

これが正しいかを確認するために、（x＝１、y＝３）、（x＝−１、y＝１１）をそれぞれ代入したときに式が成り立つかを計算してみましょう。

・（x＝１、y＝３）のとき
右辺＝２・１²−４・１＋５＝２−４＋５＝３＝左辺

・（x＝−１、y＝１１）のとき
右辺＝２・(−１)²−４・(−１)＋５＝２＋４＋５＝１１＝左辺

よってこの式が正しいことがわかりました。