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微分法 / 三角関数・指数関数・対数関数の導関数

(sinx)'=cosxの証明

著者名： OKボーイ

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(sinx)'=cosxの証明

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$
を利用して、(sinx)'=cosxの証明を行なってみましょう。

証明

左辺
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin \left(x+h\right) - \sin x}{h}$ 　…①

$\sin \left(x+h\right)$ 　を加法定理に従って展開すると
$\sin \left(x+h\right) = \sin x \cos h+ \cos x \sin h$ 　
なので①式は
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cos h+ \cos x \sin h- \sin x}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cos h- \sin x+ \sin h \cos x}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \sin x \left( \cos h-1\right) }{h} + \frac{ \cos x \sin h}{h} \right)$ …②

■ここで焦点を変えて

ここで
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos h-1}{h}$
に注目をします。分子分母に(cosh+1)をかけて

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left( \cos h-1\right) \left( \cos h+1\right) }{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos ^{2} h-1}{h \left( \cos h+1\right) }$ 　…③

$\sin ^{2} h+ \cos ^{2} h=1$ 　より
$\cos ^{2} h=1- \sin ^{2} h$ 　
なので③式は

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1- \sin ^{2} -1}{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{- \sin ^{2} }{h \left( \cos h+1\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \sin h \times \frac{1}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \frac{ \sin h}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$ 　…④

ここで設問より
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} =1$ 　
なので④式は、
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(- \sin h \times \frac{ \sin h}{h} \times \frac{1}{ \cos h+1}\right)$
$=-0 \times 1 \times \frac{1}{1+1} =0$ 　…⑤

■ここでようやく②式に戻ります。

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \sin x \left( \cos h-1\right) }{h} + \frac{ \cos x \sin h}{h} \right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot \frac{ \cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{ \sin h}{h} \right)$

⑤より
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot \frac{ \cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{ \sin h}{h} \right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \sin x \cdot 0+ \cos x \cdot 1\right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \cos x$

ｘは変数ではないので
$\lim_{h \rightarrow 0} \cos x=cosx$

以上のことから「(sinx)'=cosx」が成り立つことがわかりましたね！

・指数関数の導関数～累乗根の入った関数～

・(cos x)'=-sin xの証明

sin, cos, 証明, 導関数, 三角関数, 微分公式,

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

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